中国青年报特稿:数学的国

  • 程曼祺 (中国青年报)
  • 创建于 2016-12-07
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    今年读大二的莫亚金,常在校园里听到一种特殊的“争吵”。

    这“争吵”不涉及利益冲突或情感纠葛,内容抽象而高深,发生的场合又十分随性,像一个身着隆重礼服的人,忽然闯到了市井街头。

    那还是大一开学没多久的时候,莫亚金正在大澡堂的隔间里冲澡,忽然听到左边的两三个同学在讨论“一个小区域内流体各处速度分布的欧拉表述”。一位同学提到,可以将哈密顿算符用于欧拉表述,立马有另一个同学讲数学处理的不妥之处,本来在右边隔间里哼小曲的同学也加入了战局,指出误差会达到多少多少……雾气和水声中,谁也分不清谁,但不妨碍大家说得热烈。

   在莫亚金所在的中国科学院大学(以下简称“国科大”),这样的情景不时出现。

    这所大学被同学们戏称为“中国数学物理大学”,不论本科生学什么专业,在大一、大二都被安排了高难度的数学课程。

    他们的授课老师,是中国资深的数学家,其中不乏中国科学院院士。

    9月20日晚上,国科大可容纳800多人的礼堂里坐满了年轻的学生。主讲者是国科大主管教学的副校长、中科院院士席南华,他给大一新生开设了“线性代数”,2016级是他带的第三届。

    演讲结束后,席南华又遇到了那个常被问及的问题:研究纯数学是怎样的体验?

    “这是一个可爱的学科,很有乐趣,也不用实验设备,在世界上有很多朋友,我转了很多国家,免费旅行,做完之后成果也是你的。”席南华笑了笑,“这么可爱的事情,想别的干嘛,只管往下做就行了。”

席南华院士-扬旗摄

莫亚金

        “数学家天天都是星期天”

    53岁的席南华,瘦高,挺拔,看上去比实际年龄年轻。

    他声音平稳,语速适中,演讲的时候偶尔抖一些数学段子。也正因为他讲笑话自己不笑,所以在同学眼里,显得分外好笑。

    他常说的一个是这样:“如果你明白一个命题,又知道它的证明,那么你可以写论文发表在数学杂志上;如果你明白一个命题,但不知道它的证明,那可以把论文发在物理杂志上;如果你既不明白它的命题,当然,你也不可能知道它的证明,那可以把论文发表在工程学杂志上。”

    礼堂里瞬时爆发出一阵爽朗的欢笑。这一句玩笑也道出了纯数学研究的特点,它追求真理,并要求得到真理的逻辑过程无懈可击。

    得益于这种特点,当代数学家依然保持了古典学者的风范,他们可以像数百年前的前辈一样,凭着一副好头脑深入思维领域。他们无需把自己拴在实验室里,或使用什么特殊器材。他们穿梭在世界各地,和全世界的同行交流,这也是研究必不可少的一部分。

    今年大二的阚成章,在上线性代数的时候,多次听席南华讲数学家是一个特别好的职业,相对自由,做什么事情都可以想问题,吃饭、走路都可以想。

    研究数学的这些年,席南华带着他脑中的问题,先后在美国普林斯顿高等研究所、法国高等科学研究所、德国波恩马普数学所、日本京都大学数理解析研究所等全球知名的数学研究机构访学。法国的梧桐树、日本京都的红叶和新英格兰地区的田园景致,都曾成为他和同行思考的背景。

    席南华的同事、中科院院士周向宇,引述他研究生同学张伟平院士的话,“数学家天天都是星期天”。周向宇解释,这不是指数学家天天都在休息,而是说星期天也在工作,什么时候都可以工作。

周向宇院士为本科生授课  杨天鹏 摄

    有时候即使躺床上了,问题也会潜入清醒和睡眠的间隙。1993年,在德国访学的席南华正在研究“单位根处的量子群的表示”,有一次正睡得迷迷糊糊时,突然被一个相关的想法击中,这种时刻,人会蓦然清醒。

    在自己的办公室里,冯琦向中国青年报·中青在线记者描述了“思考数学”时的具体感受。他是中科院数学院的研究员,和席南华、周向宇一样,也给国科大的本科生授课,研究领域为数理逻辑。

    思考数学问题,对冯琦来说“很舒服”。沉浸在问题中时,没有什么东西可以打扰他,有时候吃过没吃过饭他都不知道,回过神儿才感觉饿。

冯琦老师

    “很纯,不会开小差。自己对自己笑眯眯。大脑特别兴奋,不是我让它兴奋,是自然地兴奋起来。”冯琦说。

    席南华也有类似的体验。他不挑工作的环境,走路、在车上都会想,生活中走神儿也是常事,想进去了,噪音便自然而然地飘远了。

    冯琦本不是学数学的,专业是计算机。大三的秋天,对数学感兴趣的他研究了一阵关于“连续统假设”的问题。

    到最后一个星期,他感到自己极有希望解决问题,兴奋得几乎一整个星期没怎么睡觉。

    “根本不可能睡得着。”后来,冯琦跟一位德国同行交流这种体验,对方完全理解。这位同行也有类似的经历:看到希望的时候,脑子像一壶水烧开了停不下来,想清楚了,倒头呼呼大睡。

    和当时兴奋难眠的冯琦年龄相仿的国科大学生,也渐渐开始有了大脑停不下来的体验。

    今年刚入学的巩峻成,高中阶段就萌生了研究数学的想法。高二停课准备奥数时,连续4个月每天学11个小时的数学,却并不觉得枯燥,一个题可以钻研很长时间,不会被其他事情分神儿。

巩峻成

    前一阵子,他想一个线性代数的题目,某天醒了后,恍惚记得梦中闯入了许多符号,在那里晃荡。“我是不是有点走火入魔了?”巩峻成半开玩笑地说。

    巩峻成的师兄,数学专业二年级的学生李鑫泽发现,有些问题非常迷人,迷人到吃饭、走路都在想。想不出来的时候,他会在校园里乱走。

    去年初夏,李鑫泽在习题里碰到了一个和“若尔当标准型”非常相似的矩阵结构。夜里10点,他还在操场上走,思索矩阵怎么排得更规整,更完美。走着走着,他突然得到了一个思路。

    李鑫泽回忆,他当时特别高兴,感觉走路可以飘起来。而这种高兴又不为外人知,它到来时,并不伴随球员进球时的那种欢呼。李鑫泽说,自己顶多露出了一脸傻笑。

    没过多久,冯琦发现,关于“连续统假设”的那个问题自己搞错了,但他顾不上沮丧:“第一次感到大脑可以如此兴奋,在那之前,不会知道人的状态会有那么大的差别。”

    直到现在,冯琦说他每天仍有一小会儿能进入一种极度舒服的状态,一般出现在凌晨3点到凌晨6点之间,20年来,他习惯这个点起床,不吃东西,喝咖啡,冥想数学。

    他提到一个在许多数学家之间颇有共鸣的现象:如果自己特别兴奋,那这个结论通常是错的,最好不说话,第二天冷冷静静看一遍,就会发现哪里出了问题。而真的对的时候,心情反而“很平淡,很平淡”。

    数学家有许多这样的“平淡”时刻。读博士期间,席南华正研究仿射外尔群,一天吃过午饭,他坐在宿舍窗前,懒洋洋地看外面的风景,楼下是篮球场,对面是另一栋宿舍楼,住的是女生,路上有些行人。毫无预兆地,他突然想到可以利用一个荷兰数学家的工作成果,用“偏序”来解决自己正在思考的问题。

    如果当时有人碰巧看到窗前的席南华,绝对不会想到,这个年轻人的脑子里和心里正在起怎样的变化。由于一直在想这个问题,他并不需要拿笔记下什么,而是始终坐在那儿看着窗外。

    楼下是篮球场,对面是另一栋宿舍楼,路上有些行人,但一切又不一样了。

    “最最美好的是数学的思想,它美得要命”

    “漂亮”“美”“优雅”,这是多位数学家描述数学时的共同词汇。

    阚成章记得,他的学业导师袁亚湘院士常对年轻人说:“数学是有趣的。”“最最美好的是数学的思想,它美得要命。”

席南华院士课间与本科生讨论  杨天鹏  摄

    席南华在新生演讲中,这样说数学的美:“数学的美,显然是内在美,需要你细细体会,体现在思维方式上。比如市长给欧拉提出的‘七桥问题’,欧拉就把这个问题抽象了‘图论’也由此诞生了。欧几里得对素数无穷性的证明,逻辑的力量是一种美。勾股定理,不同东西联系在一起,美。简单的东西揭示复杂的东西,也是一种美。”

    数学的美与乐趣,像“兄弟会”的接头暗语,把讲不同语言,但使用同一套数学符号的人连结到一起。和一些人想象中埋首斗室,伏案冥思的数学家形象不同,数学家其实有很多旅行的机会,因为高质量的同行交流是数学研究的重要部分。

    冯琦有些怀疑那些把科学家描述成“苦行僧”的故事:“没有一个人愿意在痛苦中生活,一定是在幸福状态下工作的。”因为思考着自己深为着迷的东西,数学家在求解问题的过程中很幸福。

    席南华不觉得数学带来孤独,自己研究的东西,和身边的人说不清楚没关系,世界上有人可以说清楚。

    从东到西,当阳光扫过地球,全球的许多数学研究机构次第开始了“下午茶”。数学家聚到一起,共同寻找感兴趣的问题,交流各自的进展。普林斯顿高等研究所为此配备了专门的厨房,那里的美味令席南华难忘。

    周向宇院士当年在苏联时,也经常参加莫斯科大学的定期讨论班,把现在的国科大学生虐得死去活来的“最难教材”的作者柯斯特利金和卓里奇就是讨论班的常客。

    一场饭桌上的小讨论,数学家和数学家“碰对头”了,也能划出一连串的思考涟漪。有一年,数学家丘成栋来中科院数学所作报告。结束后,席南华请他吃饭,丘成栋在一张餐巾纸上写了一个他研究多年的问题。这后来促使席南华研究“代数群的无限维表示”,相关论文被审稿人认为开辟了一个新的研究方向。

    席南华与数学家张益唐的交流,也发生在饭桌上,其实也不是靠吃饭,主要还是靠数学家之间的共同语言。

    2013年的一天,席南华得知张益唐证明了“弱版的孪生素数猜想”:“我一下就明白了这个意义,周一去数学研究院开会,我说我们要引进这个人。”

    其他机构也很快参与了竞争。席南华说:“北大校长请他吃饭,这是他的母校。清华校长请他吃饭,还请了杨振宁作陪。数学院也请他吃饭,但不找领导,而是找了些年轻的学子,和他谈数学、数学界。他很喜欢文学,包括古典文学,俄罗斯文学等,我们也谈。最后可能他发现,数学院是个做学问的地方。”

    在国科大2016级的新生演讲中,席南华分享了这个故事,话一说完,会场中又响起一阵掌声和笑声。席南华对自己的听众有足够的把握,对这些梦想当科学家的年轻人来说,“做学问的地方”是一个必须鼓掌的小高潮。讲台上他微笑不语,给观众席里的学生留足了鼓掌时间。

    这些台下的年轻人,也在组织自己的“数学讨论班”。巩峻成的班级QQ群,是一个活跃的线上讨论区。吃中午饭的功夫,或临睡前,几乎一天中的每个时间段,都有人讨论问题。

    让大二的韦祎颇为自豪的是,他已获得了师兄的“宝贵遗产”,作为书画社的现任社长,他从老社长手里接到了种类众多的电子版数学书,足足有10个G。说起这些电子书,他的语气有些像小男孩提到自己的限量版玩具。

    研究数学需要热恋,但环境对年轻人有很多诱惑,到处都在呼叫去赚钱、去成名

    在席南华、周向宇、袁亚湘成长的上世纪70年代末到80年代,中国人对包括数学在内的基础科学有极大的热情。

    15岁那年,读到描写陈景润数学研究的报告文学《哥德巴赫猜想》,席南华很着迷,虽然没懂其中的数学内容,但他兴奋地读了好几遍。

    在万里之外的北京,中科院数学所接到了全国寄来的雪片般的信件,门口排起了长龙,人们聚到这里想求教数学问题,或声称自己完成了某项证明,有人甚至带来了铺盖,不确认结果就不回家。

    而多年后,当数学所所在的中关村冒出越来越多、越来越贵的高楼大厦,人们对基础科学及其研究者的热情却渐渐衰退,还生出了许多担忧。

刘翼豪

    在2014年国科大第一次招生时,来自云南的新生刘翼豪就曾面临许多告诫:“当你同学本科硕士毕业有车有房时,你还做着实验,读着博士,一无所有。”“科研是贵族的游戏,如果你家里有钱当然无所谓在哪儿上学了。”……

    今年,山东省理科状元孙昊选择国科大后,问答社区知乎上也出现了类似的讨论。得票最高的答案,来自孙昊本人,被点赞了2900多次:“粗略了解科研的付出与回报。在此基础上对物理学的理想依然坚定。”

    席南华在读博士的时候,室友劝他转行做经济。“这对我们学数学的人来说太平常了,收入何止翻几番!但我从没想过转行,因为纯数学是我兴趣所在。”

    冯琦直言,研究纯数学,注定是一个不会特别赚钱的行业:“额外收入和数学统一不起来。研究数学需要对自己领域的热恋。不能分心,不会分心,也不愿意分心。”但现在的环境对年轻人有很多诱惑,到处都在呼叫去赚钱、去成名。

    想早一点自立的李鑫泽,虽然对数学很感兴趣,但并不确定能否以此为业。“我问过几个助教,数学系的工资不是特别高,结婚的年龄也晚,我们助教的水平还是很高的。”

    在数学世界内部,这项要求人不断创新的工作,也可能使研究者遇到思维的挫折或陷入自我怀疑。

    大一的巩峻成,入学以来见识了很多厉害的同学,虽然“梦想着做数学”,但感到自己没有优势:“我看见远处的山,看不见脚下的路。有时候上课上到周三,会突然觉得,三天就过去了,虽然每天在做题,但感到没有方向。”

    巩峻成向学业导师席南华表达了这种感受后,席南华给他讲了自己的“笨鸟”经历。

    实际上,席南华开始并没有考上本科,而是被一所专科学校的数学专业录取。在工作一年后,他考上了华东师范大学的数学系研究生。席南华回忆,到了这一步,自己依然很吃力:“我的论文写得很辛苦。我很多同学第一年就有论文发表,我读到第三年,论文也写不出来。”

    在勉强完成硕士答辩后,席南华已经起了回湖南工作的念头。他的导师曹锡华却问他还想继续读书吗?“想啊!”“那就考试,读博士。”

    直到现在,成为院士后的席南华依然觉得自己很平庸:“和伟大的数学家比起来,我取得的成果什么都不算。”

    他对自己能走到今天也感到十分惊讶:“我读的学校也不好。有的是北大、复旦出来的人。我怎么有今天这样的地位,既不聪明,也不是名校受的教育?我感到非常奇怪。”

    后来他琢磨出一点道理:“当时说了我都不懂,同学说都懂了,过了好久我知道他们搞错了,其实没搞懂。”席南华说,“差别在哪里呢?我知道自己不懂,他们不知道自己不懂。我知道不懂,我就努力搞明白。”

    席南华谈到了潜在研究者的特质,说起来并无神奇之处:需要一定的素质,对数学的热爱,然后就是坚韧不放弃的精神。

    “要让学生站在我们的肩膀上,学习数学,研究数学”

    在中国科学院数学与系统科学研究院一楼的展览室里,陈列着几份华罗庚的《多复变函数论中典型域上的调和分析》的手稿。本来是带记者参观,但看到激动处,李向东也拿出手机拍了几张。

    在国科大的学生那里,李向东被称为“东神”,他是中科院应用数学所的研究员,在国科大开设“微积分”等课程。在之前的采访中,他提到自己求学和做研究时曾读过华罗庚在1958年出版的这本著作,书中美妙的推导和娴熟而精巧的计算,令李向东读来“扼腕赞叹”。

    受邀到北京师范大学进行数学讲座的周向宇院士,再次提及华罗庚的这本著作:“我们这一辈做数学的,受华罗庚影响大,他在西南联大时期,做多复变数自守函数。后来回国后,完全是在国内的环境,做了典型域上的多复变函数研究。”

    新中国数学科学的奠基人之一,中科院数学所的第一任所长华罗庚,也是一位桃李满天下的老师。他创造了“一条龙”教学法,把数学系所有的课程按照一条线牵起来,由他全部带完。他也挖掘培养了王元、陈景润、万哲先、陆启铿等许多数学家。

    现在,国科大的诸位老师接过了新的一棒。

    席南华并不讳言,给本科生讲课和管理教学工作会影响自己的研究。那几个久久萦绕心头的“大问题”——关于基环的猜想,和“模表示不可约特征标”,需要摒除外界干扰,进行长时间的静心思考。

    “我要么不做,要做就很认真。”席南华推辞过出任学校领导,但后来想培养人也很重要,是一种责任。就任后,他请国家科学图书馆对每个专业调研世界上排名前五的学校,前后花了几个月的时间,在有关调研报告基础上,确定了国科大的本科课程体系。

    在李鑫泽眼里,席南华上课不看讲义,只凭记忆完成定理的引出、证明、收语,并最后总结相互联系,一气呵成。

    李向东的课程,则是另一种风格,被学生评价为“奔放的法兰西流派”。他班上的学生韦祎说,李老师的课表面上看起来很随意,但充满激情,十分注重整体性,对概念之间的联系非常明确。他并不使用指定的教材,而是给同学推荐多本参考书,课上选讲。韦上学期用的书,不下10本。

    在招生规模较小的国科大,留法归来的李向东,特意想打造“巴黎高师”对学生的培养模式。

    “让他们跳出课本的框框,更好地了解数学发展中历史的原貌,各个阶段的特点、困惑和所研究的问题……如果不知道数学的源泉,也就不知道应该做什么问题,也就很难把握数学的过去和预测数学的未来。”李向东说,“要让学生站在我们的肩膀上,学习数学,研究数学。”

阚成章

    阚成章对多位国科大的数学老师有细致的观察,这些日常接触也成了“受教”的一部分。

    他好几次看到教“抽象代数”的王崧老师一边散步,一边若有所思。“看眼神就是沉浸在自己的世界中。”王崧曾是两届国际奥数金牌得主,是一名数论专家。

    教授里“复分析”的崔贵珍老师,在阚成章眼里是一个“很洒脱”的人。他常和学生说,自由自在地去追随你喜欢的东西,将来不管做什么,不一定是数学,但一定要自己喜欢,有自己的思考。这样才开心,做的才是真东西。

    作为阚成章的学业导师,袁亚湘院士曾专门晚上开车来玉泉路同他的几个本科生碰面,他每天从早上8点工作到晚上9点,事情多,但和学生一聊,不觉中就过了一两个小时。

袁亚湘院士为本科生上课  杨天鹏 摄

    袁亚湘周末还常带学生爬山,他年轻的时候爱好长跑,现在爬起山来,一帮二三十岁的小伙儿没人赶得上他。

    席南华在授课时,对数学史和数学家的故事非常熟悉,信手拈来,可以把一个问题的历史讲得很清楚。目前学到了《代数学引论》第三卷的阚成章,想起当时席老师课上课下点到的东西,觉得都是伏笔。

    数学家的特点和轶事,也无缝衔接到了课堂的玩笑里,如果看到同学伏了一片在抄笔记,席南华会提到俄罗斯数学家庞特里亚金:庞特里亚金从来不记笔记,记笔记耽误太多。

    在周向宇眼里,学生很上进,学校氛围好,科学家办学,很认真。基本上全所出动,把自己的力量完全用上去了,没什么保留。周向宇说,现在学生学的东西,比他们当年学得前沿。

    不过学生也面临多重挑战。平时温和的席南华在考试中很严格,“学不好,不及格就是不及格”。2014级的班上,60多个学生中到春季学期期末时有12个人不及格,补考一轮后,还有10个人不及格,他们只能下次再重修。

    9月的最后一天,席南华坐飞机到四川的一所高中给中学生讲数学的美。

    离地一万米的高空中,闭目养神的席南华在思考如何编写《线性代数》第二卷。他认为,柯斯特利金的《代数学引论》很好,但翻译过来后,多少有一些错误和表达上的不通顺。所以从今年开始,他给班上的学生用了自己写的新教材《线性代数》,目前只出了第一本。

    约3小时后,飞机降落,席南华的旧背包里多了半张写了零碎文字的A4纸,那是他临时记下的一些关于新教材的思路:“度量向量空间大小的概念是维数,为此需要知道向量间的联系,可以用的运算是向量加法和纯量乘,它们都是线性运算。”

    一同放在这个旧背包里的,还有一篇安德烈·韦伊1978年发表的数学史论文——《数学史:为什么、怎么看》和一本黑格尔的《小逻辑》。

 中国青年报“冰点特稿”版面图:《数学的国》

 

本文原载于2016年12月7日的《中国青年报》

http://mzqb.cyol.com/html/2016-12/07/content_225389.htm

 

责任编辑:陈俊佑