【科学讲座】张立群:分析中的一些思想和方法

  • 文/包皓文 图/徐立 (国科大记者团) (本科部)
  • 创建于 2016-04-05
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3月31日晚7点,科学前沿进展名家系列讲座Ⅳ第五讲在玉泉路校区阶一五教室开讲,本次讲座由中科院数学与系统科学研究院张立群研究员为同学们讲述分析中的一些思想和方法。

张立群老师首先从我们熟知的数学分析讲起,数学中专门研究函数的领域称作分析,而数学分析也曾称为无穷小量分析。张老师从数学分析产生的背景讲起,介绍了数学分析中的基本概念:极限、微分、积分……而微积分作为数学分析的一部分,同时也是数学分析的基础,它已渗透到现代学科的各个领域,例如:描述时空中的物质与能量因引力而弯曲的爱因斯坦方程;描述基本粒子瞬时波函数随时间演化的薛定谔方程;金融经济中期权定价的Black-Scholes公式。在序言的最后张老师又提到一些现代分析内容:实分析、复分析、泛函分析、几何分析等。

接下来进入到本次报告的主要内容,报告的主要分为三个部分:矩阵与特征值;微分与极大值原理;积分与不等式。

张老师首先讲述矩阵行列式与特征值,矩阵是由Sylvester在1850首先使用的,他又强调了行列式的出现对于线性方程组的求解有巨大作用。通过行列式我们又可以定义特征值,在这一方面Jordan做出了非常大的贡献——Jordan利用相似矩阵和特征值证明了矩阵可以约化到标准型。之后张老师给出了矩阵与特征值的一些具体应用,以及特征值在线性算子和微分方程中的具体含义。

在“微分与极大值原理”这一部分,张立群老师首先阐述了Bolzano在1817年给出的导数的定义,以及导数的几何意义。之后他讲述了极大值原理的六种具体内容,它和微分方程以及微分不等式有着密切的联系。另一方面,极大值原理有着非常广泛的应用,张老师展开讲述了其在平面平移法和各种估值方面的具体应用。

在最后一部分“积分与不等式”中,张立群老师依然从最基本的定义出发,由浅及深地讲解。积分即是某种求和,数学上定义的积分包括Riemann积分和Lebesgue积分等。之后张老师又介绍了等周不等式、索伯列夫不等式以及我们熟知的平均值不等式。此外,还讲到了著名的Moser迭代。

在讲座的最后,张立群老师以三句结束语结束本场讲座:“微分与积分如同分析的左膀右臂,在数学与物质科学诸多分支领域中,长袖善舞,硕果累累。但是,任何一种舞姿都需要一个合适的舞台。分析方法与代数、几何等方法勾画出多彩的数学和物质世界。”

主讲人简介:

张立群,中科院数学与系统科学研究院研究员。研究方向:非线性偏微分方程、几何分析。

延伸阅读:

“科学前沿进展名家系列讲座”创办于2014年9月,是中国科学院大学为本科生开设的必修课程,同时欢迎研究生与教职工参加,由中国科学院大学本科部主办,目前讲座召集人为周琪院士。该课程按照数学、物理、化学、生物、材料、计算机六个专业,邀请相关科学领域的院士等知名专家开展专题讲座。通过讲述科学故事、介绍相关学科方向的科学前沿进展,让学生在本科阶段了解不同学科的科研方向与主要进展,拓宽学生的学术视野,为他们最终选择学科专业与专业方向提供丰富的判断依据。

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责任编辑:宋超